Normal Matrix

发表于 2023-01-02 更新于 2025-04-10 分类于 Computer Graph

法线矩阵

在渲染管线的处理过程中，顶点处理阶段会通过模型变换将局部坐标变换到世界坐标,在模型变换的过程中，顶点会经过旋转、缩放、平移的过程.
法线是和方向相关的向量，所以平移对法向这个方向向量是没有意义的，所以我们考虑的是顶点的旋转与缩放对法线的影响，由于法线属于协变矢量(我们将在后面介绍这个概念)的一种，它不能和顶点使用相同的变换矩阵进行变换.
为了正确的变换法线，我们必须使用一个和顶点变换矩阵不同的矩阵.
- 如果矩阵不包含缩放,无疑，它是合适的，可以安全的变换矩阵
- 如果矩阵包含均匀的缩放，它仍旧是安全的，依旧可以用来变换法线，唯一需要做的就是，就是变换完成后重新对法线进行归一化.
- 如果矩阵包含非均匀的缩放,我们需要一个新的矩阵处理变换后顶点的法相.

推导：
$\vec{T}$表示的是$\Delta_{ABC}$的切向量，由$A - C$计算得到.
- $\vec{N} \bot \vec{T}$
$\vec{T'}$表示的是$\Delta_{A'B'C'}$的切向量，由$A' - C'$计算得到.
- 使用相同的变换矩阵之后，$\vec{N'}\cancel{\bot} \vec{T'}$
我们使用 $M$表示模型矩阵
- $T = vec4(x,y,z,w)$
$T \times M = (A - C) \times M$

$T \times M = A \times M - C \times M$

$T' = A' - C'$
- $A' and C'$是三角形变换后的顶点，所以$T'$仍旧是三角形变换后的切线
$M$不能用来变换法线，我们只能通过法线$\vec{N} \cdot \vec{T} = 0$的性质来完成下面的推导
- 可得$\vec{N'} \cdot \vec{T'}$
- 法线与切线垂直
法线是方向向量，平移对此没有意义，所以我们只考虑模型矩阵的左上角$3\times3$部分矩阵$M'$,并且变换后的法线 $\vec{N'}$ 满足$\vec{N'} \cdot \vec{T'} = 0$
在我们不知道一个合适的法线变换的矩阵的时候不妨设它$G$
此处我们不考虑平移

$\vec{N'} \cdot \vec{T'} = (G_{3\times3} \times \vec{N}) \cdot ( M_{3\times3} \times \vec{T} ) = 0$

$ (G_{3} ) ( M_{3} ) = (G_{3} )^T (M_{3} ) $

$\vec{N}^TG_{3\times3}^TM_{3\times3}\vec{T} = 0$

$\vec{N}^T \times \vec{T} = \vec{N} \cdot \vec{T} = 0$

$G_{3\times3}^TM_{3\times3} == I$ -- 单位矩阵

$G_{3\times3}^T == I * M_{3\times3}^{-1}$

$G_{3\times3} == I * (M_{3\times3}^{-1})^T = (M_{3\times3}^{-1})^T$